Fließproduktionssysteme mit unbegrenzten Puffern

In einigen in der Praxis realisierten Fließproduktionssystemen ist die Pufferkapazität zwischen den einzelnen Stationen derart groß, daß sie vereinfacht als unbegrenzt angenommen werden kann. Wenn z.B. mehrere Arbeitsplätze linear aufgestellt sind und der Materialfluß durch einen Gabelstapler erfolgt. In diesem Fall kann man sehr einfach das Leistungsverhalten eines derartigen Produktionssystems bestimmen. Ein Modell mit unbeschränkten Puffern ist auch unter der Bedingung beschränkter Puffer nützlich, da mit ihm eine obere Schranke für den Output des Systems bestimmt werden kann.

Zur Analyse solcher Systeme zerlegt man das aus $M$ Stationen bestehende Fließproduktionssystem in $M$ einstufige Warteschlangensysteme, zwischen denen Materialfluß besteht. Dies zeigt das folgende Bild:

a

Man kann nun die einzelnen Stationen mit Hilfe eines geeigneten Warteschlangenmodells analysieren und aus dem Leistungsverhalten der Stationen und bestimmten Annahmen über den Transfer der Werkstücke zwischen benachbarten Stationen dann auf die Leistung des gesamten Systems schließen. In Abhängigkeit von den Eigenschaften der Bearbeitungsprozesse kann man dann auf unterschiedliche Warteschlangenmodelle zurückgreifen.

Exakte Analyse: Exponentialverteilte Zeiten

Unter bestimmten Bedingungen kann man die Kenngrößen des Fließproduktionssystems exakt berechnen. Es mögen folgende Annahmen gelten:

  1. Das betrachtete Fließproduktionssystem besteht aus $M$ Stationen mit
    jeweils unbegrenzter Puffergröße.
  2. Die Station $m$ verfügt über $S_m$ identische Arbeitsplätze (Maschinen, server), die
    parallel zur Bearbeitung der Werkstücke eingesetzt werden.
  3. Die Abfertigungsreihenfolge an einer Station orientiert sich am First-Come-First-Served-Prinzip (FCFS).
  4. Aufträge oder Werkstücke kommen mit einer bekannten Ankunftsrate $\lambda$ an der ersten Station des Systems an. Es handelt sich um einen Poisson-Ankunftsprozeß, d.h. die Zwischenankunftszeiten sind exponentialverteilt.
  5. Die Bearbeitungszeiten an einem Arbeitsplatz an Station $m$ sind exponentialverteilt mit dem Mittelwert $b_m=\frac{1}{\mu_m}$. ($\mu_m$ ist die Bedienungsrate eines Arbeitsplatzes der Station $m$).

Die beschriebenen Annahmen führen dazu, daß wir das Fließproduktionssystem als lineare Folge von einstufigen $M/M/S-$Warteschlangensystemen modellieren können. Für den Fall, daß an einer Station nur ein Arbeitsplatz vorhanden ist, verwendet man das $M/M/1-$Warteschlangenmodell.

Dabei ist der Ankunftsprozeß an einer stromabwärts gelegenen Station identisch mit dem Abgangsprozeß der unmittelbar davor liegenden stromaufwärts gelegenen Station. Da der Abgangsprozeß von einem $M/M/S-$Warteschlangensystem einem Poisson-Prozeß folgt und somit für alle einstufigen Warteschlangensysteme ein Poisson-Ankunftsprozeß (exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten) gegeben ist, läßt sich das betrachtete Fließsystem mit Hilfe der angestrebten Modellierung exakt auswerten. Grundsätzlich muß für ein solches System gelten, daß die Ankunftsrate $\lambda$ kleiner ist als die kleinste Bedienungsrate aller im System befindlicher Stationen:

$\lambda <{\min}_{m=1,2,...,M} \left\{ {S_m\cdot \mu _m} \right\} $

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann kommt es an mindestens einer Station, die den Engpaß des Systems bildet, zu einem Werkstücküberlauf (Akkumulation unendlich vieler Werkstücke). Ist diese Bedingung jedoch erfüllt, dann resultiert aus dem strengen linearen Materialfluß: $m\rightarrow m+1\rightarrow m+2\rightarrow \ldots \rightarrow M$ die Produktionsrate des Systems, $X$, direkt aus der Ankunftsrate $\lambda$, d.h.

$X=\lambda$.

Die Auslastungen der einzelnen Stationen $m$ können dann direkt aus den Inputwerten bestimmt werden. Es gilt:

$\rho _m=\frac{\lambda}{S_m\cdot \mu _m}=\frac{b_m\cdot X_m}{S_m} \qquad m=1,2,\ldots,M$

Als interessierender Kennwert für das Fließproduktionssystem läßt sich nun aus dem $M/M/S-$Warteschlangenmodell z.B. die
mittlere Anzahl von Werkstücken an den einzelnen Stationen $m$, $L_m$, bestimmen.

Mit Hilfe der $L_m$-Werte kann dann auf die mittlere Gesamtzahl von Werkstücken im System (Bestand, WIP, work-in-process) geschlossen werden. Sie beträgt:

$L=\displaystyle{\sum_{m=1}^M} L_m$

Für jede einzelne Station kann auch die exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung des Lagerbestands bestimmt werden. Beträgt die Bearbeitungszeit an einer Station z.B. eine Minute und die Zwischenankunftszeit 1.25 Minuten, dann erhält man folgende, mit dem Produktions-Management-Trainer berechnete Kenngrößen der Station:

a

Man sieht, daß hier im Extremfall mehr als 20 Plätze für Werkstücke an der Station benötigt werden. Man kann nun Optimierungsüberlegungen anstellen. Zum Beispiel kann man überlegen, ob man die Streuung der Bearbeitungszeiten nicht durch geeignete technische oder organisatorische Maßnahmen reduzieren kann. Dies hätte unmittelbar Auswirkungen auf die Höhe der Bestände und damit auf die Durchlaufzeit.

Approximative Analyse: Allgemein verteilte Zeiten

Sind die Bearbeitungszeiten an einer Station nicht exponentialverteilt, dann kann man wie folgt vorgehen (Annahme: ein Serverpro Station). Man modelliert jede Station als ein $GI/G/1-$Warteschlangensystem. Dies ist ein Warteschlangensystem mit allgemein verteilten und voneinander unabhängigen Zwischenankunftszeiten, allgemein verteilten Bedienungszeiten und einer Bedienungseinrichtung.

Die Ankunftsrate $\lambda$ (bzw. die mittlere Zwischenankunftszeit eines Werkstücks) ist dabei für alle Stationen gleich: $\lambda_m=\lambda$ ($m=1,2,...,M$). Denn die Werkstücke fließen ja linear von Station zu Station und es entsteht kein Verlust durch Ausschuß. Bei der Betrachtung einer einzelnen Station ist unter diesen Bedingungen zu berücksichtigen, daß die Zwischenabgangszeiten nicht mehr exponentialverteilt sind und daß damit der Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeit an einer Station nicht mehr gleich 1 ist.

Um die interessierenden Kenngrößen (Durchlaufzeit durch alle Stationen, Wartezeit je Station, Anzahl Werkstücke je Station) ermitteln zu können, kann man auf Approximationen für das $GI/G/1-$Modell zurückgreifen [vgl. Tempelmeier(2007), Aufgabe A3.4]

Die Berechnungen laufen dann wie folgt ab:

Station
Zwischenankunftszeit
Zwischenabgangszeit
1
Gegeben: $\frac{1}{\lambda}$
Berechne $CV_d^2(1)$
2
$CV_a^2(2)=CV_d^2(1)$
Berechne $CV_d^2(2) $
3
$CV_a^2(3)=CV_d^2(2)$
$\ldots$

Dabei bezeichnet:
$CV_a^2(m)$ = quadrierter Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeit an Station $m$
$CV_d^2(m)$ = quadrierter Variationskoeffizient der Zwischenabgangszeit an Station $m$

Diese Gleichungen werden nun Station für Station schrittweise ausgewertet. Dabei wird beim Übergang zur Station $m$ der Variationskoeffizient der Zwischenankunftszeiten dieser Station gleich dem Variationskoeffizienten der Zwischenabgangszeiten der Vorgängerstation $m-1$ gesetzt.

Die Ankünfte an der Station 1 sind in der Tabelle Poisson-verteilt. Man kann aber auch allgemein verteilte Ankünfte annehmen. In diesem Fall
muß man in den Formeln für den quadrierten Variationskoeffizienten anstelle des Wertes 1 (für die Exponentialverteilung) den betrachteten Wert einsetzen.

Siehe auch ...

Literatur

Tempelmeier, H. (2010). Supply Chain Management und Produktion (3. Aufl.). Norderstedt: Books on Demand.
Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.