CLSP: Dynamisches Losgrößenmodell mit Kapazitätsbeschränkungen

Dieses Modell entsteht, wenn man das dynamische Einprodukt-Losgrößenmodell (SLULSP) auf die Betrachtung mehrerer Produkte ausweitet und dabei Kapazitätsbeschränkungen berücksichtigt. Es handelt sich um ein sog. Makroperiodenmodell ("big-bucket model"). Das heißt, das Modell ist so formuliert, daß in einer Periode prinzipiell beliebig viele Produkte produziert werden können, sofern die Kapazität dazu ausreicht.

Annahmen:

  • mehrere Produkte

  • dynamische, periodenbezogene Nachfragemengen

  • eine oder mehrere Maschinen bzw. Ressourcen (in den meisten Modellierungsvarianten und Lösungsverfahren wird nur eine Maschine betrachtet); Achtung: Wenn mehrere Ressourcen betrachtet werden, dann wird angenommen, daß diese gleichzeitig an einem Auftrag arbeiten, z.B. eine Maschine, ein Werker, und ein spezielles Werkzeug.

  • endliche Produktionsgeschwindigkeit, d.h. für jedes Produkt wird eine Stückbearbeitungszeit vorgegeben

  • mehrere Produkte können pro Periode produziert werden ("big bucket"-Modell)

  • keine Übernahme eines Rüstzustandes aus der Vorperiode: falls ein Produkt in einer Periode produziert wird, fallen auch Rüstzeiten bzw. Rüstkosten an; das gilt auch dann, wenn in mehreren aufeinanderfolgenden Perioden nur ein einziges Produkt produziert wurde

Es gibt verschiedene Modellformulierungen des CLSP, die sich vor allem durch die verwendeten Variablen unterscheiden. Die einfachste Form lautet wie folgt:

$\mathrm{Minimiere } Z= \displaystyle{\sum_{k=1}^K \sum_{t=1}^T } \big( {s_k\cdot \gamma_{kt}}+{h_k\cdot y_{kt} \big)$

unter den Nebenbedingungen

$ y_{k,t-1}+q_{kt}-y_{kt}=d_{kt} \qquad {k=1,2,\ldots,K;\;t=1,2,\ldots,T} $

$ \displaystyle{\sum_{k\in {K}_j}} \big(tb_k\cdot q_{kt}+ tr_k\cdot \gamma _{kt}\big) \leq b_{jt} \qquad {j=1,2,\ldots,J;\;t=1,2,\ldots,T} $

$ q_{kt}-M\cdot \gamma _{kt} \leq 0 \qquad {k=1,2,\ldots,K;\;t=1,2,\ldots,T} $

$ q_{kt}, y_{kt} \geq 0 \qquad {k=1,2,\ldots,K;\;t=1,2,\ldots,T} $

$ \gamma_{kt} \in \{0,1\} \qquad {k=1,2,\ldots,K;\;t=1,2,\ldots,T} $

Symbole:
$t$ Periodenindex
$k$ Produktindex
$j$ Ressourcenindex
${K}_j$ Menge der Produkte, die an Ressource $j$ bearbeitet werden
$d_{kt}$ Primärbedarf des Produkts $k$ in Periode $t$
$tb_{k}$ Produktionszeit pro ME des Produkts $k$
$tr_{k}$ Rüstzeit für Produkt $k$
$b_{jt}$ Kapazität der Ressource $j$ in Periode $t$
$q_{kt}$ Produktionsmenge des Produkts $k$ in Periode $t$
$y_{kt}$ Lagerbestand des Produkts $k$ am Ende der Periode $t$
$\gamma_{kt}$ binäre Rüstvariable für Produkt $k$ in Periode $t$

Diese Formulierung ist zwar leicht verständlich. Sie hat aber den Nachteil, daß eine LP-Rleaxation (d.h. wenn man das Modell unter Vernachlässigung der Binäreigenschaft der Rüstvariablen löst) nur eine sehr schlechte untere Schranke des optimalen Zielfunktionswertes des Modell liefert. Diese untere Schranke ist z.B. in einem Branch&Bound-Verfahren so wenig informativ, daß man nicht damit anfangen kann. Es sind daher verschiedene alternative Modellformulierungen für die betrachtete Problemstellung entwickelt worden, die mit wesentlich kürzerer Rechenzeit auskommen. Mittelgroße CLSP-Probleme lassen sich heute in vertretbarer Rechenzeit mit Standard-Software zur mathematischen Optimierung exakt lösen.

Das CLSP kann um parallele Maschinen erweitert werden.

Da eine CLSP-Lösung nur die Produktionsmengen pro Periode festlegt, bestehen hinsichtlich der Reihenfolge, in der die Produkte in einer Periode produziert werden, noch beträchtliche Freiheitsgrade.

Die obige Formulierung ist nicht effizient, da ihre LP-Relaxation so niedrige untere Schranken des optimalen Zielwertes liefert, daß man damit in einen Branch-and-Bound-Verfahren nicht viel anfangen kann. Eine wesentlich bessere Formulierung basiert auf den Standortmodell (siehe hierzu Tempelmeier (2012)).

Siehe auch ...

Literatur

Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2016), Produktionsplanung in Supply Chains. 4. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.