SIULSP: Single-Item Uncapacitated Lotsizing Problem (Wagner-Whitin-Problem)

Das dynamische Losgrößenmodell SIULSP (Single-Item Uncapacitated Lotsizing Problem) wurde von Wagner und Whitin vorgeschlagen und heißt deshalb auch Wagner-Whitin-Modell. Bei diesem Modell geht es darum, für eine gegebene Zeitreihe von deterministischen, periodenbezogenen Nachfragemengen die kostenminimalen Losgrößen in den einzelnen Perioden zu bestimmen. Kapazitätsbeschränkungen werden in diesem einfachen Modell nicht berücksichtigt. Die Häufigkeit der Lose wird über die Rüstkosten gesteuert.

Annahmen:

  • ein Produkt
  • dynamische Nachfragemengen (periodenbezogen, Tage, Wochen usw.)
  • keine Kapazitätsbeschränkung

Dieses Problem wird auch als Wagner-Whitin-Problem bezeichnet.

Die einfachste mathematische Formulierung lautet:

$\mathrm{Minimiere Z}=\displaystyle{\sum_{t=1}^T \big( {h\cdot y_t}+{ s\cdot \gamma _t} \big)}

unter den Nebenbedingungen:

$y_{t-1}+q_t-y_t=d_t \qquad {t=1,2,\ldots,T}$

$q_t-M\cdot \gamma _t\le 0 \qquad {t=1,2,\ldots,T}$

$q_t\geq 0 \qquad {t=1,2,\ldots,T}$

$y_t\geq 0 \qquad {t=1,2,\ldots,T}$

$\gamma _t\in \left\{ {0,\,1} \right\} \qquad {t=1,2,\ldots,T}$

Symbole:

$d_t$ Nettobedarfsmenge in Periode $t$
$h$ Lagerkostensatz
$M$ große Zahl (M muß größer als die maximal mögliche Losgröße sein)
$s$ Rüstkostensatz
$T$ Länge des Planungszeitraums
$q_t$ Losgröße in Periode $t$
$y_t$ Lagerbestand am Ende der Periode $t$
$\gamma_t$ binäre Rüstvariable

Bei genauer Betrachtung des Modells SIULSP stellt man fest, daß es sich um den auf ein isoliert betrachtetes Produkt bezogenen Ausschnitt des Modells MLCLSP handelt. Der Produktindex $k$ sowie die Kapazitätsbeschränkung wurden gestrichen. Die Sekund"arbedarfsmengen und die Vorlaufzeitverschiebung wurden ebenfalls vernachlässigt. Sie werden bei Anwendung des Dispositionsstufenverfahrens außerhalb der Losgrößenplanung erfaßt.

Das Modell SIULSP hat eine spezielle Struktur, die es gestattet, es auf das Problem der Bestimmung des kürzesten Weges in einem Netzwerk zurückzuführen. Es ist daher sehr leicht exakt zu lösen.

Das Modell SIULSP bildet die Grundlage für zahlreiche Losgrößenheuristiken, die in den in der Praxis verbreiteten ERP-/PPS-Systemen und Advanced-Planning-Systemen eingesetzt werden. Typische Losgrößenheuristiken sind:

  • Verfahren von Silver und Meal
  • Verfahren von Groff
  • Stückkostenverfahren (Verfahren der gleitenden wirtschaftlichen Losgröße)
  • Stückperiodenausgleichsverfahren (Part-Period-Verfahren)

Bei den Heuristiken geht man i.d.R. so vor, daß man in einer Periode $\tau$ ein Los auflegt und dieses so lange vergrößert, bis sich ein Optimierungskriterium, dessen Wert sich zunächst verbessert hat, wieder verschlechtert.

Bei der Silver-Meal-Heuristik z.B. beschreibt das Optimierungskriterium die durchschnittlichen Kosten pro Periode, wenn in Periode $\tau$ ein Los aufgelegt wird, das alle Periodenbedarfe bis einschließlich Periode $t$ deckt:

$c_{\tau t}=\frac{s+h\cdot \displaystyle{\sum_{l=\tau }^t} {(l-\tau )\cdot d_l}}{t-\tau +1}\qquad \tau \le t $

Siehe auch ...

Literatur

Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2014), Produktionsplanung in Supply Chains. 2. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2010). Supply Chain Management und Produktion (3. Aufl.). Norderstedt: Books on Demand.