Erläuterungen zum Silver-Meal-Verfahren bei stochastischer Nachfrage

Im Folgenden werden die Berechnungen für das Beispiel zum Silver-Meal-Verfahren bei stochastischer dynamischer Nachfrage an einem Beispiel detailliert erklärt:

Es werden normalverteilte Periodennachfragemengen mit den folgenden Mittelwerten und Standardabweichungen angenommen:

Periode $t$
1
2
3
4
5
6
$E\{D_t\}$
20
100
160
85
120
100
$\sigma_{D_t}$
6
24
48
25.5
36
30

Der Lagerkostensatz beträgt $h=1$, der Rüstkostensatz ist $s=500$, und der Servicegrad ist $\beta_c=0.99$.

Wir betrachten zunächst Periode $\tau=1$ und bestimmen die kumulierte Produktionsmenge $Q^{(1)}$ für den Fall, daß nur die erste Periode $t=1$ durch das betreffende Los gedeckt wird. $Y^{(\tau,t)}$ ist die Nachfragemenge der Perioden $\tau$ bis $t$. $Y^{(t)}$ ist die kumulierte Nachfragemenge der Perioden $1$ bis $t$. Zur Berechnung der Fehlmenge in einer Periode verwenden wir die Fehlbestand am Periodenende $I^f(t)$. Der Fehlmenge in einem Produktionszyklus ist gleich dem Fehlbestand am Ende abzüglich dem Fehlbestand am Beginn des Produktionszyklus.

Kumulierte Nachfragemenge:

$E\{Y^{(1)}\}=20$; $\sigma\{Y^{(1)}\}=6$

Die erlaubte Fehlmenge ist dann:

$E\{F_{Y^{(1,1)}}\} =20 \cdot (1-0.99)= 0.2$

Die standardisierte erlaubte Fehlmenge ist:

$E\{F_U\} = \frac{0.2}{6} = 0.0333$

Der Sicherheitsfaktor, mit dem eine Fehlmenge der Höhe 0.0333 erreicht wird, ist:

$v_{opt} = \min [v| E\{F_U\} = 0.0333] = 1.4433$

Daraus ergibt sich die kumulierte Produktionsmenge:

$Q^{(1)}(\beta_c=0.99) = 20 + 1.4433 \cdot 6 = 28.66 $

Die Losgröße $q_1$, bei der am Ende der Periode $t=1$ die erwartete Fehlmenge 0.2 beträgt, ist dann:

$q_{1} = Q^{(1)} = 28.66 $

Jetzt wird der Lagerbestand am Ende der Periode 1 bestimmt. Der Bestand am Ende der Periode $t$ ist der Betrag, um den die kumulierte Produktionsmenge am Ende der Periode $t$, $Q^{(t)}$, die gesamte Nachfrage in den Perioden $1$ bis $t$ überschreitet. Tritt nur die erwartete Nachfrage ein, dann ist der Bestand gleich dem Sicherheitsbestand. Ist die Nachfrage größer als $Q^{(t)}$, dann kommt es zu einem Fehlbestand.

Den physische Lagerbestand bei normalverteilter Nachfrage ist:

$E\{I^p(t)\} = Q^{(t)} - E\{Y^{(t)} \} + \Phi^1(v) \cdot \sigma_{Y^{(t)}}$

$\sigma_{Y^{(t)}}$ ist die Standardabweichung der Summe der Nachfragemengen der Perioden $1$ bis $t$. Der dritte Term auf der rechten Seite ist der erwartete Fehlbestand am Ende der Periode $t$, $E\{I^f(t)\}$.

$v = \frac{Q^{(t)} - E\{Y^{(t)}\}}{\sigma_{Y^{(t)}}}$.

$\Phi^1(v) = \phi(v)- v\cdot (1 - \Phi(v))$ ist die Verlustfunktion erster Ordnung der Standardnormalverteilung (entspricht dem Erwartungswert der Fehlmenge in der $(s,q)$-Politik). $Q^{(t)}$ wird mit einem Suchverfahren bestimmt.

$\Phi^1(v=1.4433) = 0.0333$

Der physische Lagerbestand am Ende der Periode 1 beträgt damit:

$E\{I^p(1)\} = 28.66 - 20 + 0.0333 \cdot 6 = 8.86$

Damit betragen die durchschnittlichen Kosten pro Periode, wenn das Los $q_1$ nur die Periode $t=1$ abdeckt:

$C_{1 1} = \frac{500+8.86}{1} = 508.86$

Jetzt erhöhen wir die Reichweite des Loses auf $t=2$.

Kumulierte Nachfragemenge:

$E\{Y^{(2)}\}= 20+80=100$; $\sigma\{Y^{(2)}\}=\sqrt{6^2+24^2} = 24.74$

Die erlaubte Fehlmenge ist nun:

$E\{F_{Y^{(1,2)}}\} =(20+80) \cdot (1-0.99)= 1$

Daraus ergibt sich die kumulierte Produktionsmenge:

$Q^{(2)}(\beta_c=0.99) = 133.52$

Die neue Losgröße $q_1$ ist dann

$q_{1} = Q^{(2)} = 100 + 1.3550 \cdot 24.74 = 133.52$

Jetzt werden die Lagerbestände am Ende der Perioden 1 und 2 bestimmt. Zunächst berechnen wir den Bestand am Ende der Periode 1.

Fehlbestand am Ende der Periode 1:

$E\{I^f(1)\} = \Phi^1(v=\frac{133.52-20}{6}) \cdot 6 = 0$

Am Ende der Periode 1 beträgt der erwartete physische Lagerbestand dann:

$E\{I^p(1)\} = 133.52 - 20 + 0.0 = 113.52$

Fehlbestand am Ende der Periode 2:

$E\{I^f(2)\} = \Phi^1(v=\frac{133.52-100}{24.74}) \cdot 24.74 = 0.0405 \cdot 24.74 = 1.0$

Am Ende der Periode 2 beträgt der erwartete physische Lagerbestand dann:

$E\{I^p(2)\} = 133.52 - 100 + 1.0 = 34.52$

Damit betragen die durchschnittlichen Kosten pro Periode, wenn das Los $q_1$ die Perioden 1 und 2 abdeckt:

$C_{1 2} = \frac{500+(113.52+34.52)}{2} = 324.02$

Die durchschnittlichen Kosten pro Periode haben sich also verringert. Damit ist es nach dem Silver-Meal-Kriterium vorteilhaft, das Los der Periode $\tau=1$ um den Bedarf der Periode 2 (einschließlich eines Anteils für den Sicherheitsbestand) zu vergrößern.

Im nächsten Schritt führt man die obigen Berechnungen für $t=3$ durch.

Weitere Erläuterungen sind im Lehrbuch zu finden. Der Produktions-Management-Trainer (ab Version 15.0.2.0, ab Juni 2016) enthält ein Modul, in dem die Berechnungen genau protokolliert werden.

Siehe auch ...

Literatur

Tempelmeier, H. (2016). Produktionsplanung in Supply Chains. 4. Aufl., Norderstedt: Books on Demand. Veröffentlichung in Vorbereitung