PLSP: Proportional Lotsizing and Scheduling Problem

Dieses Modell geht von sehr kurzen Perioden aus (small-bucket Modell) und ermöglicht, falls die Kapazität einer Periode nicht voll durch die Produktion eines Produktes verbraucht wird, die Produktion eines zweiten Produktes. Die Grundbedingung des PLSP in seiner ursprünglichen Form lautet: In jeder Periode darf höchstens ein Produktwechsel erfolgen. Das PLSP soll den Fall modellieren, bei dem ein Los über mehrere Perioden hinweg produziert wird. Rüstkosten fallen nur einmal zu Beginn der Produktion mit der Vorbereitung der Ressource für das betreffende Produkt an. Das muß nicht die Produktionsperiode sein, in der mit der Produktion begonnen wird, sondern kann u.U. auch schon vorher (Ende der Vorperiode) passieren. Neben den üblichen (binären) Rüstvariablen benötigt man eine zusätzliche Variable, die den Rüstzustand der Ressource am Ende einer Periode wiedergibt. Eine PLSP-Lösung determiniert einen genau definierten Produktionsablauf mit fixierten Produktionsstart- und endterminen

Annahmen:

  • mehrere Produkte
  • dynamische Nachfragemengen
  • eine Maschine
  • endliche Produktionsgeschwindigkeit
  • in einer Periode kann höchstens ein Produktwechsel erfolgen ("small bucket"-Modell)
  • Übernahme eines Rüstzustandes aus der Vorperiode

Die mathematische Formulierung lautet:

$\begin{eqnarray} \mathrm{Minimiere } Z=\displaystyle{\sum_{k=1}^K \sum_{t=1}^T \left(s_k\cdot \gamma_{kt}+ h_k\cdot y_{kt} \right)} \end{eqnarray}$

unter den Nebenbedingungen

$y_{k,t-1}+q_{kt}-y_{kt}=d_{kt} \qquad{k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^K} \left( tb_{k}\cdot q_{kt} + tr_{k}\cdot \gamma_{kt} \right) \leq b_{t} \qquad{t=1,2,...,T}$

$\displaystyle{\sum_{k=1}^K} z_{kt} = 1 \qquad {t=1,2,...,T}$

$\gamma_{kt} \geq z_{kt} - z_{k,t-1} \qquad{k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

$q_{kt} \leq M\cdot \left( z_{k,t-1} + z_{kt} \right) \qquad {k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

$z_{k0} = 0\qquad{k=1,2,...,K}$

$q_{kt}, y_{kt}\geq 0\qquad{k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

$z_{kt}\in \{0,1\} \qquad{k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

$\gamma_{kt}\in \{0,1\} \qquad{k=1,2,...,K; t=1,2,...,T}$

Symbole:

$t$ Periodenindex
$k$ Produktindex
$d_{kt}$ Primärbedarf des Produkts $k$ in Periode $t$
$tb_{k}$ Produktionszeit pro ME des Produkts $k$
$tr_{k}$ Rüstzeit für Produkt $k$
$b_{t}$ Kapazität der Ressource in Periode $t$ = Periodenlänge
$q_{kt}$ Produktionsmenge des Produkts $k$ in Periode $t$
$y_{kt}$ Lagerbestand des Produkts $k$ am Ende der Periode $t$
$\gamma_{kt}\quad$ binäre Rüstvariable für Produkt $k$ in Periode $t$
$z_{kt}$ binäre Variable, die anzeigt, ob die Ressource am Ende der Periode $t$ für Produkt $k$ gerüstet ist
Das folgende Bild zeigt eine Gantt-Chart für ein Beispiel mit 3 Produkten und 10 Perioden. In der obersten Zeile sind die Rüstzustände (Produktnummer) am Periodenanfang angegeben. Die Zahlen in den Balken sind die Wertepaare "Rüstzeit+Bearbeitungszeit". Die Rüstzeiten sind jeweils 10.

Man erkennt, daß in Periode 6 nicht produziert wird und daß der Rüstzustand für das Produkt 1 von der Periode 5 in die Periode 7 übernommen wird. Daher kann auf das erneute Rüsten in Periode 7 verzichtet werden. In der CLSP-Modellierung würde in diesem Fall für Periode 7 ein erneuter Rüstvorgang vorgesehen. Man kann das ursprüngliche PLSP-Modell auch um Kampagnen-Restriktionen erweitern. In der chemischen Industrie gibt es z.B. oft die Beschränkung, daß die sich über mehere Perioden hinziehenden Produktionsaufträge eine Mindestmenge nicht unterschreiten und eine Höchstmenge nicht überschreiten dürfen. Maximale Losgrößen: Nehmen wir im obigen Beispiel folgende maximale Produktionsmengen an: P1 (50), P2 (60) und P3 (40), dann erhalten wir den folgenden Produktionsplan:

Mindest-Losgrößen: Jetzt nehmen wir im obigen Beispiel folgende Mindestlosgrößen an: P1 (0), P2 (0) und P3 (100). Es ergibt sich dann der folgende Produktionsplan:

Auch die Berücksichtigung paralleler Ressourcen ist möglich. In diesem Fall entsteht ein Problem der Zuordnung der Produktionsmengen zu den Ressourcen, wobei für jede Ressource auch noch über die Losgrößen und die Produktionsreihenfolgen zu entscheiden ist. Das heuristische Lösungsverfahren von Haase ist im Produktions-Management-Trainer implementiert:

Siehe auch ...

Literatur

Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2015), Produktionsplanung in Supply Chains. 3. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2010). Supply Chain Management und Produktion (3. Aufl.). Norderstedt: Books on Demand.