Zeitreihenanalyse: Dekompositionsmethode
Eine Zeitreihe ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungswerten. Wenn man die Entwicklung einer Zeitreihe in die Zukunft extrapolieren (prognostizieren) will, dann muß man zunächst die bestimmenden Einflußgrößen, die das Erscheinungsbild der Zeitreihe geprägt haben und in der Zukunft möglicherweise prägen werden, identifizieren. Kennt man diese Einflußgrößen, dann kann man ein geeignetes Prognosemodell anwenden und Prognosewerte bestimmen.
Die in diesem Modul eingesetzte Dekompositionsmethode geht von der Vorstellung aus, daß eine Zeitreihe aus mehreren Komponenten besteht, und zwar aus
Für die folgende Analyse wird angenommen, daß diese Komponenten multiplikativ miteinander verknüpft sind. Mit der Dekompositionsmethode versucht man nun, diese Komponenten zu analysieren. MAn kann sie dann isoliert in die Zukunft fortschreiben und damit die Entwicklung der gesamten Zeitreihe prognostizieren.
Das die folgende Bild zeigt die Entwicklung der Nachfragemenge eines Produkts (Tageswerte, ohne Feiertage).
Obwohl die einzelnen Beobachtungswerte (Nachfragemenge pro Tag) offenbar zufälligen Schwankungen unterworfen sind, erkennt man doch deutlich, daß die Zeitreihe einen saisonalen Verlauf zeigt. Der saisonale Einfluß wiederholt sich mit einem Rhythmus von einem Jahr.
Mit Hilfe der Zeitreihenanalyse können die Komponenten (z.B. Trend, Saisonmuster) eine Zeitreihe identifiziert werden. In diesem Modul wird eine Zeitreihe wird nach der Dekompositionsmethode (ratio-to-moving-average method) in ihre Bestandteile zerlegt. Es können alternativ 4 (Quartalswerte) oder 12 (Monatswerte) Saisonperioden betrachtet werden.
Wird als Anzahl der Saisonperioden ein Wert ungleich 4 oder 12 (z.B. 0) eingegeben, dann werden keine Saisonfaktoren berechnet.
Die Beobachtungswerte können manuell eingeben werden. Man gibt zunächst die Anzahl Perioden an und füllt dann die Eingabetabelle aus. Alternativ zur Dateneingabe über die Tastatur kann eine externe Datei eingelesen werden. Die Datei eine Text-Datei sein (kann z.B. mit dem Windows-Editor erzeugt werden) und muß in jeder Zeile einen Wert enthalten, z.b.
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Das Dateiende wird automatisch erkannt.
Schließlich können die Daten auch aus einer Tabellenspalte aus MS-Excel übernommen werden. Markieren Sie dazu die gewünschte Gruppe von Werten in Excel und kopieren Sie die Auswahl in die Windows-Zwischenablage. Positionieren Sie dann den Mauszeiger in die erste Spalte der Eingabetabelle. Mit der Standard-Windows-Tastenkombination zum Einfügen (Ctrl-V bzw. Strg-V) wird der Inhalt der Zwischenablage dann in die Eingabetabelle Spalte 1 (Beobachtungswerte) kopiert.
Enthält die Eingabetabelle bereits Werte, dann können Sie weitere Werte am Ende der Zeitreihe anfügen, indem Sie zuerst die Anzahl Perioden erhöhen. Dadurch werden neue Zeilen an die Eingabetabelle angehängt. Sie können dann den Mauszeiger in die erste neu angehängte Zeile positionieren und mit Ctrl-V bzw. Strg-V die Werte einfügen.
Die Zeitreihendekomposition erfolgt in mehreren Schritten
1. Berechnung der Autokorrelationsfunktion
Vor der Zeitreihenzerlegung wird die Autokorrelationsfunktion berechnet, aus der man Aufschluß über das grundlegende Verlaufmuster der Zeitreihe erhält.
2. Isolierung der glatten Komponente der Zeitreihe
Im nächsten Schritt wird die in der Zeitreihe verborgene Trendentwicklung (einschließlich eines längerfristigen nicht-saisonalen und eventuell nichtlinearen Verlaufs) identifiziert. Dazu wird ein zentrierter gleitender Durchschnitt zur Bestimmung der glatten Komponente TC gebildet.
3. Bestimmung der saisonalen Komponente
Im nächsten Schritt werden die Saisonfaktoren ermittelt. Dies geschieht, indem man die Zeitreihe der Beobachtungswerte periodenweise durch die Zetireihe der glatten Komponente dividert: $si_t = \frac{y_t}{tc_t}$. Aus den zu einer Saisonperiode gehörenden $si_t$-Werten wird dann der Saisonfaktor der betreffenden Saisonperiode geschätzt. Damit die Berechnungen nicht zu unübersichtlich werden, werden die Saisonfaktoren nicht standardisiert. Daher sind die Summen von 4 (bzw. 12) aufeineinaderfolgenden Saisonfaktoren nicht genau gleich 4 (bzw. 12).
4. Berechnung eines linearen Trends
Zum Abschluß werden mit Hilfe einer linearen Regressionsrechnung die Parameter der Trendgeraden geschätzt.
Die einzelnen Berechnungsschritte können durch Anklicken einzelner Zellen in der Tabelle nachvollzogen werden. Klickt man z.B. auf die Zelle in Zeile 7 und Spalte su(t), dann enthält die Combo-Box folgende Angaben über die Berechnung des nicht-standardisierten Saisonfaktors der Periode 7 (= Saisonperiode 3).
Symbole:
| t | Zeitindex |
| tc(t) | glatte Komponente in Periode t |
| si(t) | nicht geglätteter Saisonfaktor der Periode t |
| su(t) | geglätteter, nicht-standardisierter Saisonfaktor der Periode t |
| tci(t) | saisonbereinigte Zeitreihe in Periode t |
| rho(j) | Autokorrelationskoeffizient für eine Zeitverschiebung (time lag) von j Perioden |
Die Saisonfaktoren und die Parameter der Trendgeraden werden als Startwerte automatisch in das Modul " Verfahren von Winters " übernommen.
- Tempelmeier (2020c)
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