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Steiner-Weber-Modell

Standortplanung in der Ebene: Steiner-Weber-Modell

Beim Steiner-Weber-Problem wird der optimale Standort für eine Produktionsstätte oder ein Auslieferungslager gesucht, ohne daß einzelne potentielle Standorte bekannt sind. Man betrachtet daher die gesamte Fläche und beschreibt alle vorhandenen Orte, z.B. die Positionen der Abnehmer (Bedarfsorte) mit Hilfe von $x$- und $y$-Koordinaten. In diesem Modul wird angenommen, daß es eine Produktionsstätte (bzw. einen Lieferanten) und mehrere Bedarfsorte gibt und daß der transportkostenminimale Standort in der Ebene für ein Lager (bzw. eine Produktionsstätte) gesucht wird.

Alternativ könnte man auch den Standort einer Produktionsstätte bei einem gegebenen Lieferanten und mehrere Bedarfsorten suchen. Ausgehend von dem Schwerpunkt (Knoten 0) der (mit ihrem Bedarf gewichteten) Bedarfsorte wird iterativ der optimale Standort berechnet. Die Liefermenge von der Fabrik (bzw. dem Lieferanten) zum gesuchten Standort wird dabei gleich der Summe aller Bedarfsmengen gesetzt.

Die $x$-Koordinate des Schwerpunkts ist:
$ s^0_x=\dfrac{ {c^a\cdot w_a\cdot x_a} +\sum\limits_{i=1}^I {c_i^b\cdot w_i\cdot x_i} } { {c^a\cdot w_a} +\sum\limits_{i=1}^I {c_i^b\cdot w_i} } $

und $y$-Koordinate des Schwerpunkts ist entsprechend:
$ s^0_y=\dfrac{ {c^a\cdot w_a\cdot y_a} +\sum\limits_{i=1}^I {c_i^b\cdot w_i\cdot y_i} } { {c^a\cdot w_a} +\sum\limits_{i=1}^I {c_i^b\cdot w_i} } $

Im folgenden Bild wird angenommen, daß der Lieferant eine Produktionsstätte ist und daß der optimale Standort für ein Lager gesucht wird.

Ansicht:

Symbole:

$a$ Produktionsstätte
$I$ Anzahl Bedarfsorten
$i$ Index der Bedarfsorte
$c^a$ bzw. $c_i^b$ Einheitstransportkostensatz (Geldeinheiten/(Mengeneinheit und Entfernungseinheit))
$x_i$ y-Koordinate des Bedarfsortes $i$
$y_i$ y-Koordinate des Bedarfsortes $i$
$w_a$ Summe aller Bedarfsmengen
$w_i$ Bedarfsmenge des Bedarfsortes $i$

Annahmen:

Der optimale Standort wird mit einem Iterationsverfahren bestimmt, in dem man mit dem Schwerpunkt als erstem Standort beginnt. Dann berechnet man alle Entfernungen (als Luftlinienentfernungen) und ermittelt die gesamten Transportkosten. Schließlich berechnet man neue $x$- und $y$-Koordinaten des Standorts, ermittelt neue Entfernungen und Transportkosten usw. Das Iterationsverfahren endet, wenn sich die Transportkosten nicht weiter und nur noch vernachlässigbar verringern.

Bei konstanten Einheitstransportkosten (wie in diesem Modul angenommen) wird mit diesem Iterationsverfahren die optimale Lösung gefunden.

Erweitert man die Problemstellung auf mehrere Standorte, dann erhält man das sog. Location-Allocation-Problem.

Eine Beschreibung des Verfahren findet sich bei Tempelmeier(2020b).

Literatur:

Tempelmeier, Horst (2020b). Analytics in Supply Chain Management und Produktion - Übungen und Mini-Fallstudien, 7. Auflage, Norderstedt (Books-on-Demand)

 

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