Teil VII
Einstufige Lagerpolitiken
Lagerpolitiken
• (s, q)-Politik
• (r, S)-Politik
• Base-Stock-Politik, (1, S)-Politik
• (s, S)-Politik
24 Approximationen
24.1 (s, q)-Politik (kontinuierliche
¨
Uberwachung)
(s, q)-Politik
Dispositionsregel
Wenn der disponible Lagerbestand den Bestellpunkt s erreicht hat, wird eine Bestellung der H¨ohe q
ausgel¨ost.
(s, q)-Pol itik, Ablauf der Ereignisse, periodische
¨
Uberwachung
1. Lieferung trifft ein und wird eingelagert (morge ns). Alle wartenden R¨uckstandsauftr¨age werden
ausgeliefert.
2. Kundenauftr¨age werden ausgeliefert (tags¨uber) bzw. an den Versand ¨ubergeben.
3. Lag e rbestand wird ¨uberpr¨uft (abends). Fa lls notwendig, wird eine Bestellung an den Lieferanten
geschickt. Diese trifft bei einer Wiederbes chaffungszeit von L zu Beginn der Periode t + L + 1 ein.
(s, q)-Pol itik, Ablauf der Ereignisse, kontinuierliche
¨
Uberwachung
1. Auftr¨age mit der Auftragsgr¨oße ”‘1” treffen kontinuierlich ein und werden ausgeliefert.
2. Nach jeder Lagerentnahme wird der Lag erbestand ¨uberpr¨uft. Falls notwendig, wird eine Bestellung
an den Lieferanten geschickt, die nach einer Wiederbeschaffungszeit von L (bei L = 0 sofort)
eintrifft.
3. Nach Ablauf der Wiederbeschaffungszeit trifft die Lieferung ein und wird eingelagert. Alle wartenden
R¨uckstandsauftr¨age werden ausgeliefert.
85
(s, q)-Pol itik, kontinuierliche
¨
Uberwachung
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Bestand
5 10 15 20 25
Physischer Bestand
Disponibler Bestand
Bestellpunkt s
Bestellmenge q
Fehlmenge
Zeit
Wiederbeschaffungszeit
(s, q)-Pol itik
Fehlmenge
E{F } = (1 − β) · q
opt
Fehlb estand am Zyklusanfang
E
n
I
f
Anf
(s)
o
=
∞
Z
s+q
opt
(y − s − q
opt
) · f
Y
(y) ·dy
Fehlb estand am Zyklusende
E
n
I
f
End
(s)
o
=
∞
Z
s
(y − s) · f
Y
(y) · dy
(s, q)-Pol itik IV
β (s |q
opt
) =
= 1 −
∞
R
s
(y − s) · f
Y
(y) ·dy −
∞
R
s+q
opt
(y − s − q
opt
) · f
Y
(y) · dy
q
opt
86
= 1 −
y
max
P
y=s+1
(y − s) · P {Y = y} −
y
max
P
y=s+q
opt
+1
(y − s − q
opt
) · P {Y = y}
q
opt
(s, q)-Pol itik
• Schritt 1: Bestellmenge Bestimme q
opt
, z. B. q
opt
=
r
2 · c
b
· E{D}
h
• Schritt 2: Bestellpunkt
Bestimme den kleinsten Wer t des Bestellpunkts s, de r folgende Bedingung er f¨ullt: (1 − β) ·q
opt
≥
E{I
f
End
(s)} − E{I
f
Anf
(s)}
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung
(1 − β) · q
opt
≥ σ
Y
·Φ
1
N
s − µ
Y
σ
Y
− σ
Y
· Φ
1
N
s − µ
Y
+ q
σ
Y
Φ
1
N
(v) =
∞
Z
v
(x − v) · φ
N
(x) · dx
= φ
N
(v) − v · Φ
0
N
(v)
Φ
0
N
(v) =
∞
Z
v
φ
N
(x) · dx = 1 − Φ
N
(v)
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung I
(1 − β) · q
opt
≥ σ
Y
·Φ
1
N
s − µ
Y
σ
Y
− σ
Y
· Φ
1
N
s − µ
Y
+ q
σ
Y
Φ
1
N
(v) =
∞
Z
v
(x − v) · φ
N
(x) · dx
= φ
N
(v) − v · Φ
0
N
(v)
Φ
0
N
(v) =
∞
Z
v
φ
N
(x) · dx = 1 − Φ
N
(v)
87
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung II
(1 − β) · q
opt
≥ σ
Y
·Φ
1
N
s − µ
Y
σ
Y
(1 − β) · q
opt
σ
Y
≥ Φ
1
N
(v
s
)
s
opt
= µ
Y
+ v
opt
·σ
Y
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung III
Transformation
Y ≃ N(µ
Y
, σ
Y
) → X ≃ N(0, 1)
↓ Optimierung
s
opt
= µ
Y
+ v
opt
·σ
Y
← v
opt
R¨ucktransformation
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung IV
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
standardisierte Fehlmenge
v
(s, q)-Pol itik
Normalverteilung V
88
(1 − β) · q
opt
σ
Y
=
(1 − 0.95) · 200
40
= 0.25
v
opt
= min
v|Φ
1
N
(v
s
) ≤ 0.25
= 0.3449
s
opt
= µ
y
+ v
opt
· σ
Y
= 100 + 0.3449 ·40 = 113.80
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung I
k
Y
=
E {Y }
2
Var {Y }
Formparameter
α
Y
=
E {Y }
Var {Y }
Lageparameter
k
α
Mittelwert
k
α
2
Varianz
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung II
E
n
I
f
End
(s)
o
=
k
α
− s −
k
α
· I [k + 1, s · α] + s · I [k, s · α]
E
n
I
f
Anf
(s)
o
=
k
α
− (s + q) −
k
α
· I [k + 1, (s + q) · α]
+ (s + q) · I [k, (s + q) · α]
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung mit CV=0.8
89
0.000
0.005
0.010
0.015
f
(
y
)
0 50 100 150 200 250
y
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung
k
Y
=
50
2
40
2
= 1.5625
α
Y
=
50
40
2
= 0.03125
s
opt
= min
h
s
E
n
I
f
End
(s)
o
− E
n
I
f
Anf
(s)
o
≤ 10.0
i
= 65.597
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung
s E{I
f
End
(s)} E{I
f
Anf
(s)} E{F (s)}
65 10.1943 0.0337 10.1606
65.5 10.0592 0.0332 10.0260
65.597 10.0331 0.0331 10.0000
65.6 10.0323 0.0331 9.9992
66 9.9257 0.0327 9.8930
(s, q)-Pol itik
Diskrete empirische Verteilung
y 0 1 2 3 4 5 6
P {Y = y} 0.0046 0.0392 0.141 8 0.2704 0 .2890 0.1800 0.0750
90
E{F |s} =
∞
X
i=s
P {Y > i}
s E{I
f
End
(s)} E{I
f
Anf
(s)}
0 3.640 –
1 2.645 –
2 1.688 – ← gesuchter Wert
3 0.874 –
4 0.330 –
5 0.075 –
6 0.000 –
(s, q)-Pol itik
0.000
0.005
0.010
0.015
f(y)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
y
Gammaverteilung
Normalverteilung
(s, q)-Pol itik
91
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
E{Fehlmen
ge}
60.0 60.5 61.0 61.5 62.0 62.5 63.0 63.5 64.0 64.5 65.0
Bestellpunkt
Gammaverteilung
Normalverteilung
(s, q)-Pol itik
Gamma-Verteilung Normalverteilung
s E{I
f
End
} E{I
f
Anf
} E{F } E{I
f
End
} E{I
f
Anf
} E{F }
62.2 5.5405 0.0167 5.5238 5.0375 – 5.0375
62.3 5.5138 0.0165 5.4973 5.0075 – 5.0075
62.32 5.0000
62.4 5.4871 0.0164 5.4707 4.9750 – 4.9750
62.5 5.4605 0.0163 5.4442 4.9450 – 4.9450
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64.0 5.0754 0.0148 5.0606 4.4975 – 4.4975
64.1 5.0506 0.0147 5.0359 4.4700 – 4.4700
64.2 5.0259 0.0146 5.0113 4.4400 – 4.4400
64.25 5.0000
64.3 5.0013 0.0146 4.9867 4.4125 – 4.4125
64.4 4.9769 0.0145 4.9624 4.3825 – 4.3825
64.5 4.9525 0.0144 4.9381 4.3550 – 4.3550
64.6 4.9282 0.0143 4.9139 4.3275 – 4.3275
64.7 4.9040 0.0142 4.8898 4.3000 – 4.3000
64.8 4.8800 0.0141 4.8659 4.2700 – 4.2700
64.9 4.8560 0.0140 4.8420 4.2450 – 4.2450
65.0 4.8321 0.0139 4.8182 4.2150 – 4.2150
92
24.2 (s, q)-Politik (per iodische
¨
Uberwachung)
(s, q)-Pol itik
0
100
200
300
400
500
600
700
Bestand
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 15
Bestellpunkt s
Disponibler Bestand am
Beginn der Wieder-
beschaffungszeit
Zeit
Wiederbeschaffungszeit
Defizit
Nachfragemenge
in der Wiederbe-
schaffungszeit
(s, q)-Pol itik
Undershoot
F
U
(u) =
1
E {D}
·
u
Z
0
[1 − F
D
(x)] · dx
P {U = u} =
1 − P {D ≤ u}
E {D}
(s, q)-Pol itik
Undershoot Beispiel
P {D = 0} = 0.2
P {D = 1} = 0.3
P {D = 2} = 0.2
P {D = 4} = 0.2
93
P {D = 10} = 0.1
E{D} = 0.3 · 1 + 0.2 · 2 + 0.2 · 4 + 0.1 · 10 = 2.5
u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P {U = u} 0.32
|{z}
=
1 − 0.2
2.5
0.20 0.12 0.12 0.04 0.04 0.0 4 0.04 0.04 0.04
(s, q)-Pol itik
Undershoot Normalverteilung
E {U } =
E {D}
2
+ Var {D}
2 · E {D}
Var {U} =
Var {D}
2
·
"
1 −
Var {D}
2 · E {D}
2
#
+
E {D}
2
12
(s, q)-Pol itik
Undershoot Gamma-Verteilung
E {U } =
E {D}
2
+ Var {D}
2 · E {D}
Var {U} =
k
2
D
+ 6 ·k
D
+ 5
12 · α
2
D
(s, q)-Pol itik
Undershoot, Heuristik
Y
∗
= Y + U
E {Y
∗
} = E {Y } + E {U}
Var {Y
∗
} = Var {Y }+ Var {U}
94
(s, q)-Pol itik
Undershoot, Normalverteilung
E {U } =
2500 + 625
2 · 50
= 31.25
Var {U} =
625
2
·
1 −
625
2 · 50
2
+
50
2
12
= 481.77
E {Y
∗
} = 50 .00 + 31.25 = 81.25
Var {Y
∗
} = 62 5.00 + 481.77 = 1106.77
σ {Y
∗
} = 33 .27
(s, q)-Pol itik
Undershoot, Normalverteilung
v
opt
= min
v
Φ
1
N
s − 81.25
33.27
− Φ
1
N
s − 81.25 + 100
33.27
≤
0.05 · 100
33.27
= 0.6699
s
opt
= 81.25 + 0.6699 · 33.27 = 103.54
(s, q)-Pol itik
Undershoot, Gamma-Verteilung
E {U } =
2500 + 625
2 · 50
= 31.25
Var {U} =
4
2
+ 6 ·4 + 5
12 · 0.08
2
= 585.94
E {Y
∗
} = 50 .00 + 31.25 = 81.25
Var {Y
∗
} = 62 5 + 585.94 = 1210.94
95
(s, q)-Pol itik
Undershoot, Gamma-Verteilung
k
Y
∗
=
6601.56
1210.94
= 5.4516
α
Y
∗
= 0.0671
s
opt
= min
h
s
E
n
I
f
End
(s)
o
− E
n
I
f
Anf
(s)
o
≤ 5.0
i
= 109.41
(s, q)-Pol itik
Undershoot, empirische Verteilung
P {D = 0} = 0.1, P {D = 1} = 0.4, P {D = 2} = 0.5
P {U = 0} =
0.9
1.4
= 0.6429
P {U = 1} =
0.5
1.4
= 0.3571
(s, q)-Pol itik
Undershoot, empirische Verteilung
y 0 1 2 3 4 5 6
P {Y = y} 0.0010 0.012 0 0.0630 0.1840 0.3150 0.3000 0.1250
y
∗
0 1 2 3 4 5 6 7
P {Y
∗
= y
∗
} 0.0006 0.0081 0.0448 0.1408 0.2682 0.3054 0.1875 0.0446
(s, q)-Pol itik
Undershoot, empirische Verteilung
β-Servicegrad
s E{I
f
End
(s)} berechnet simuliert
0 4.5571 77.21 77.26
1 3.5577 82.21 82.23
2 2.5665 87.17 87.25
3 1.6200 91.90 91.95
4 0.8143 95.93 95.96
5 0.2768 98.62 98.61
6 0.0446 99.78 99.78
96
(s, q)-Pol itik, Praxis
µ = 50, σ = 25, β = 0.95
q = 100 q = 500
ℓ kontinuierlich mit Defizit mit ℓ + 1 kontinuierlich mit Defizit mit ℓ + 1
1 62.32 103.54 124.96 27.51 62.09 81.85
2 124.96 164.55 185.62 81.85 116.52 136.28
3 185.62 224.26 245.11 136.28 170.88 190.61
4 245.11 283.11 303.79 190.61 225.11 244.81
(s, q)-Pol itik
Lagerbestand
E{I
p
} =
1
q
·
s+q
Z
s
x
Z
0
(x − y) ·f
Y
(ℓ+1)
·dy
·dx
E{I
p
} = s +
q
2
− E{Y
(ℓ+1)
}
+
1
q
·
G
2
(s, Y
(ℓ+1)
) − G
2
(s + q, Y
(ℓ+1)
)
= s +
q
2
− E{Y
(ℓ+1)
} + E{I
f
}
E{C
(s,q)
} =
E {D}
q
· c
b
+ E{I
p
} · h
(s, q)-Pol itik
Lagerbestand
G
2
(s, X) =
∞
Z
s
G
1
(y, X) · dy
G
1
(y, X) =
∞
Z
y
(x − y) · f(x) ·dx
97
(s, q)-Pol itik
Lagerbestand
F¨ur die Normalverteilung gilt:
G
2
(s, X) = σ
2
X
·Φ
2
N
(v)
Φ
2
N
(v) =
∞
Z
v
Φ
1
N
(x) · dx =
∞
Z
v
(x − v) · Φ
0
N
(x) · dx
= 0.5 ·
(1 + v
2
) · Φ
0
N
(v) − v · φ
N
(v)
(s, q)-Pol itik
Kosten
E{C
(s,q)
} =
E {D}
q
· c
b
+ E{I
p
} · h
98
Beispiel (s, q)-Politik
Berechnung mit dem Produktions-Management-Trainer
99
Beispiel (s, q)-Politik, Simulationsergebnisse nach 5000 Perioden
Simulation mit dem Produktions-Management-Trainer
100
24.3 Simultane Optimierung von s und q
Modell mit Servicegrad-Restriktion
Minimiere C(s, q) = h ·
q
2
+ s − E{Y }
+ c
b
·
E{D}
q
u. B. d. R.
E{F }·
E{D}
q
= (1 −β) · E{D}
Modell mit Servicegrad-Restriktion
Lagange-Funktion
L(s, q, λ) = h ·
q
2
+ s − E{Y }
+ c
b
·
E{D}
q
+ λ ·
E{F }·
E{D}
q
− (1 −β) ·E{D}
∂L(s, q, λ)
∂q
=
h
2
− c
b
·
E{D}
q
2
− λ · E{F }·
E{D}
q
2
!
= 0
q
opt
=
s
2 · E{D} ·
c
b
+ λ
opt
· E{F }
h
Modell mit Servicegrad-Restriktion
∂L(s, q, λ)
∂s
= h + λ ·
dE{F }
ds
·
E{D}
q
!
= 0
dE{F }
ds
=
d
R
∞
s
(y − s) · f (y) · dy
ds
= −(1 − P {Y ≤ s} = −P {Y > s}
∂L(s, q, λ)
∂s
= h −
λ · E{D} · P {Y > s }
q
!
= 0
λ
opt
=
h · q
opt
E{D} ·P {Y > s
opt
}
101
Modell mit Servicegrad-Restriktion
L¨osungsverfahren
• Iteration 0:
Setze λ
0
opt
= 0, q
0
opt
= 0, E{F
0
} = 0, ǫ > 0.
• Iteration k:
Berechne q
k
opt
. Falls |q
k
opt
−q
k−1
opt
| < ǫ, Stop. Andernfalls berechne s
k
opt
aufgrund der Servicerestrik-
tion. Berechne λ
k
opt
. Berechne E{F |s
k
opt
}. F¨uhre eine weitere Iteration durch.
Modell mit Servicegrad-Restriktion, Beis piel
1. Iteration (Produktions-Management-Trainer)
E{Y} = 8.00*100.00 = 800.00
V{Y} = 8.00*900.00 = 7200.00
Sigma{Y} = SQR(7200.00) = 84.85
VariationskoeffizientY = 0.11
Iteration 0
Bestellmenge = 1000.00
Opt. E{Fehlmenge} = 0.5893
Bestellpunkt = 771.505
P{Fehlmenge} = 0.631
Lambda = 0.3801
q=Sqrt(2*100.00*(120.00+0.00*0.00)/0.02) = 1000.00
E{Fehlmenge} = 0.05*1000.00/84.85 = 0.589
Sicherheitsfaktor(Fehlmenge = 0.589) = -0.3358
s = 800.00-0.3358*84.85 = 771.50
Lambda = (0.02*1000.00)/(100.00*0.631) = 0.3801
Kosten (approx.) = 23.3161
Modell mit Servicegrad-Restriktion, Beis piel
Al le Iterationen
Iteration k q
k
opt
v
k
opt
s
k
opt
λ
k
opt
C
k
1 1000 -0.3358 772 0.380 1 23.32
2 1076 -0.4056 766 0.392 9 23.24
3 1085 -0.4130 765 0.394 3 23.24
4 1085 -0.4138 765 0.394 5 23.24
5 1085 -0.4139 765 0.394 4 23.24
Modell mit Servicegrad-Restriktion
Beispiel
102
1000
1010
1020
1030
1040
1050
1060
1070
1080
1090
B
e
s
t
e
l
l
m
e
n
g
e
764
765
766
767
768
769
770
771
772
B
e
s
t
e
l
l
p
u
n
k
t
1 2 3 4 5
Iteration
103