Zusammenhang zwischen Losgröße und Durchlaufzeit (statisches Modell)

Zur Abschätzung des Leistungsverhaltens von konventionellen Werkstattfertigungssystemen wurden von Karmarkar und Kekre und unabhängig davon in der deutschsprachigen Literatur von Zimmermann verschiedene Modellierungsansätze vorgeschlagen. Kern dieser Ansätze ist die Annahme, daß die Durchlaufzeiten und Wartezeiten der Aufträge in einem Werkstattfertigungssystem zu wesentlichen Teilen von den Losgrößen für die einzelnen Produkte abhängen, während den in der Ablaufplanung eingesetzten Prioritätsregeln eine geringere Bedeutung zukommt.

Die Wartephänomene werden unter Verwendung von Ergebnissen aus der Warteschlangentheorie analysiert. Die prinzipielle Vorgehensweise wird im Folgenden anhand des M/M/1-Warteschlangenmodells dargestellt.

Annahmen:

  • mehrere Produkte
  • stationäre Nachfragemengen
  • eine Maschine
  • exponentialverteilte Bearbeitungszeiten für die Aufträge
  • exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten von Werkstücken
  • unbegrenzter Warteraum vor der Maschine

Die Modellierung basiert auf der Vorstellung, daß an der Maschine einzelne Werkstücke eintreffen und vor der Bearbeitung zu Losen zusammengefaßt werden. Es wird auch angenommen, dasß die Zwischenankunftszeiten der Werkstücke exponentialverteilt sind.

Die Maschine wird mit einem M/M/1-Warteschlangenmodell wie folgt analysiert.

Symbole:

$\tau$ Rüstzeit
$Q$ Losgröße
$P$ mittlere Produktionsrate
$D$ mittlere Ankunftsrate von Werkstücken (Nachfragrate)
$\lambda$ mittlere Ankunftsrate der Lose
$\mu$ mittlere Abfertigungsrate der Lose
Ankunftsrate von Aufträgen: $\lambda=\frac{D}{Q}$
Bearbeitungszeit eines Auftrags: $\tau + \frac{Q}{P}$
Abfertigungsrate eines Auftrags: $\mu = \frac{1}{{\tau + \frac{Q}{P}}} = \frac{P}{{\tau \cdot P + Q}}$
Auslastung: $\rho = \frac{{\frac{D}{Q}}}{{\frac{P}{{\tau \cdot P + Q}}}} $
$= \frac{D}{P} \cdot \left( {1 + \frac{P}{Q} \cdot \tau } \right)$
  $= \underbrace{\frac{D}{P}}_{\mathrm{Auslastung durch Produzieren}} + \underbrace{\frac{{D \cdot \tau }}{Q}}_{\mathrm{Auslastung durch Rüsten}} $

Die Verkehrsintensität (Auslastung) muß kleiner als 1 sein, da sonst ein Systemüberlauf auftritt:

$\rho = \frac{D}{P} + \frac{{D \cdot \tau }}{Q} < 1$

Daraus folgt:

$1 - \frac{D}{P} > \frac{{D \cdot \tau }}{Q}$

bzw.

$Q > \frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}$

Dies ist eine Untergrenze für die Losgröße.

Beispiel ($D=1.5; \tau=1; P=2$):

$ Q \gt \frac{{1.5 \cdot 1}}{{1 - \frac{{1.5}}{2}}} = 6$

Nach dem $M/M/1$-Warteschlangenmodell ist die mittlere Durchlaufzeit eines Kunden im Warteschlangensystem:

$W_s = \frac{1}{{\mu - \lambda }}$

Für das Beispiel ergibt sich als mittlere Durchlaufzeit eines Auftrags:

$W_s(Q) = \frac{1}{{\underbrace{\frac{P}{{\tau \cdot P + Q}}}_{\mu} - \underbrace{\frac{D}{Q}}_{\lambda}$

$W_s(Q) = \frac{{\tau \cdot P + Q}}{{P - \left[ {\frac{{D \cdot \tau \cdot P}}{Q} + D} \right]}}$

Wir dividieren jetzt Zähler und Nenner durch $P$ und erhalten:

$W_s(Q) = \frac{{\tau + \frac{Q}{P}}}{{1 - \frac{D}{P} - \frac{{D \cdot \tau }}{Q}}}$

Nähert sich die Losgröße der unteren Schranke $Q_{\min}$, dann ergibt sich Folgendes. Einsetzen von

$Q_{\min} = \frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}$

in

$W_s (Q) = \frac{{\tau + \frac{Q}{P}}}{{1 - \frac{D}{P} - \frac{{D \cdot \tau }}{Q}}}$

ergibt

$W_s (Q) = \frac{{\tau + \frac{\frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}}{P}}}{{1 - \frac{D}{P} - \frac{{D \cdot \tau }}{\frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}}}}$

Der Nenner kann wie folgt umgeformt werden:

$\mathrm{Nenner} = {{1 - \frac{D}{P} - \frac{{D \cdot \tau }}{\frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}}}}$

$\mathrm{Nenner} = 1 - \frac{D}{P} - \frac{D \cdot \tau }{D \cdot \tau } \cdot \big(1 - \frac{D}{P} \big)$

$\mathrm{Nenner} = \big(1 - \frac{D}{P}\big) - \big(1 - \frac{D}{P}\big) = 0$

Der Nenner strebt also bei kleinen Losgrößen gegen Null und damit strebt die Durchlaufzeit gegen $\infty$. Das heißt:

$\lim {W_s (Q)}_{Q \to \frac{{D \cdot \tau }}{{1 - \frac{D}{P}}}} = \infty$

Das sieht dann so aus:

a

Grund: Bei kleinen Losgrößen wird zu häufig gerüstet und es geht zuviel Produktionskapazität verloren.

Was kann man tun? Losgröße erhöhen, weniger Rüsten, auf Vorrat produzieren, Lagerbestand aufbauen.

Kritische Anmerkungen: Die Annahme exponentialverteilter Zwischenankunftszeiten der Werkstücke und gleichzeitig exponentialverteilter Zwischenankunftszeiten von Losen an der Maschine ist ein Widerspruch. Weiterhin kann nicht von exponentialverteilten Bearbeitungszeiten der Lose ausgegangen werden. Daher handelt es sich um ein sehr abstraktes, stilisiertes Modell, dessen Anwendbarkeit für die Prognose des Leistungsverhaltens einer Maschine in der Praxis zu bezweifeln ist. Es ist aber ein schönes Beispiel für ein geschlossenes mathematisches Modell, mit dem man prinzipiell vorhandene Beziehungen erklären kann.

Siehe auch ...

Literatur

Günther, H.-O. und Tempelmeier, H. (2016). Produktion und Logistik - Supply Chain and Operations Management. 12. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.
Tempelmeier, H. (2010). Supply Chain Management und Produktion. 3. Aufl., Norderstedt: Books on Demand.