11.3 St¨orungen, Completion Time
St¨orungsarten
Zeitabh¨angige St¨orungen
Operationsabh¨angige St¨orungen
Zur Completion Time siehe:
http://www.produktion-und-logistik.de/pro duktionundlogistik-485a.html
Completion Time
Verf¨ugbarkeit (isolated efficiency):
e
m
=
MT T F
m
MT T F
m
+ MT T R
m
m = 1, 2, ..., M
Mittlere st¨or ung sfreie Zeit:
MT T F
m
= MT T R
m
·
e
m
1 e
m
m = 1, 2, ..., M
Ausfallrate:
p
m
=
1
MT T F
m
m = 1, 2, ..., M
Completion Time
mittlere Reparaturzeit pro Betriebszeiteinheit:
p
m
·MT T R
m
=
MT T R
m
MT T F
m
m = 1, 2, ..., M
Reparaturzeit pro Bearbeitungsvorgang an Maschine m:
MT T R
m
MT T F
m
· b
m
m = 1, 2, ..., M
Completion time, Mittelwert:
h
m
= b
m
+
MT T R
m
MT T F
m
· b
m
m = 1, 2, ..., M
58
Completion Time
Completion time, Variationskoeffizient:
CV
2
H;m
=
CV
2
R;m
· MT T F
m
+ MT T F
m
b
m
·
1 +
MT T F
m
MT T R
m
2
+ CV
2
B;m
Man kann jetzt das Verfahren zur approximativen Leistungsanalyse des Fließproduk-
tionssystems bei allgemein verteilten Bearbeitungszeiten (http://www.produktion-
und-logistik.de/produktionundlogistik-485.html) anwenden, wobei als Bearbeitungszeit
die Completion Time verwendet wird.
59
11.4 Beschr¨ankte Puffer
Blockierung
Station 1
Station 2
Station 3
Bearbeitungs-
ende: Station 2
ist blockiert
Station 3
ist voll
Sind die Puffer zwischen Stationen beschr¨ankt, dann kann es zu Blocking und Sta r ving
kommen.
Auslastungsanteile (Praxisfall)
60
Rot=Blocking, Gr¨un=Starving, Gelb=Ausgefallen, Blau=Arbeitend
Literaturhinweis
Tempelmeier (2015), Aufgabe A3.11
Die negativen Auswirkungen des Blocking und Starving onnen durch Einf¨ugen von
Pufferpl¨atzen zwischen den Stationen t eilweise ko mpensiert werden.
Puffergr¨oßen versus Produktionsrate
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Produktionsrate
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Puffergröße
CV=0.8
CV=0.6
CV=0.4
CV=0.2
Um allgemeine Aussagen treffen zu onnen, greifen wir auf Ergebnisse zur¨uck, die sich
auf ein System mit 5 identischen Stationen beziehen. Die folgenden Tabellen zeigen
die Auswirkungen der Puffer auf die Produktionsrate bei unterschiedlichen Variationsko-
effizienten.
Puffergr¨oßen versus Produktionsrate
Allgemeine Aussag e n: CV = 0.1
61
Puffer
Puffer
CV
X
X X
min
X
max
X
min
0 0 0.09095 0
1 10 0.09849 86.86% =
0.9849 0.9095
0.9963 0.9095
2 20 0.09920 95.04%
3 30 0.09939 97.23%
4 40 0.09958 99.42%
5 50 0.09963 100% =
0.9963 0.9095
0.9963 0.9095
Puffergr¨oßen versus Produktionsrate
Allgemeine Aussag e n: CV = 0.3
Puffer
Puffer
CV
X
X X
min
X
max
X
min
0 0 0.07651 0
1 3.33 0.09054 64.12%
2 6.67 0.09405 80.16%
3 10 0.09579 88.11%
4 13.33 0.09657 91.68%
5 16.67 0.09719 94.51%
9 30 0.09839 100%
Puffergr¨oßen versus Produktionsrate
Allgemeine Aussag e n: CV = 1.0
Puffer
Puffer
CV
X
X X
min
X
max
X
min
0 0 0.04887 0
1 1 0.06078 25.22%
2 2 0.06816 40.85%
4 4 0.07643 58.37%
6 6 0.0819 69.96%
10 10 0.08709 80.95%
20 20 0.09 26 92.62%
30 30 0.09486 97.41%
40 40 0.09567 99.13%
50 50 0.09608 100%
Die Ergebnisse aus den Tabellen sind im f olgenden Bild zusammengefaßt. Bei Erh¨ohung
der Puffer um das Zehnfache des Variationskoeffizienten der Bearbeitungszeit werden
80%-85% des maximalen Produktionsmengenverlusts wieder wettgemacht. Weitere Erh¨ohungen
der Puffer bring en nicht mehr viel.
62
Allerdings: Die Aussagen gelten nur f¨ur den unrealistischen Fall, daß alle Stationen
identisch sind.
Puffergr¨oßen versus Produktionsrate/Variationskoeffizient
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
relative Produktionssteigerung
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Puffergröße/Variationskoeffizient
CV=0.1
CV=0.3
CV=1.0
Geschlossene Formeln f¨ur balancierte System
Blumenfeld
X(Puffer) =
1
b ·
1 +
1.67 · (M 1) ·CV
1 + M + 0.31 · CV + 1.67 · M ·
Puffer
2 · CV
Dabie bezeichnet b die mittlere Bearbeitungszeit, M die Anzahl Stationen, CV den Vari-
ationskoeffizienten der Bearbeitungszeiten und Puffer die Anzahl Puffer. Weitere Ap-
proximationsformeln stammen von Knott, Martin, Basu und Anderson/Moodie. Diese
Formeln sind ab er nur beschr¨ankt anwendbar, insbes. deshalb, weil sie nicht auf Systeme
mit unterschiedlichen Stationen angewandt werden onnen.
Zur Illustration siehe auch http://www.pom-consult.de/PMTDemo/target4.html
63
Geschlossene Formeln f¨ur balancierte System
Blumenfeld
0.04
0.04
0.05
0.06
0.06
0.07
0.07
0.08
0.08
0.09
0.09
0.10
0.10
Produktionsrate
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Puffergröße
CV=0.1 (simul)
CV=0.1 (approx)
CV=0.3 (simul)
CV=0.3 (approx)
CV=1.0 (simul)
CV=1.0 (approx)
Verteilung der Lagerbest¨ande
M = 10; CV = 0.4; Puffergr¨oßen=1
64
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Mittlerer Lagerbestand
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Puffer vor Station
Auslastungsanteile
M = 10; CV = 0.4; Puffergr¨oßen=1
65
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Anteil
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Station
beschäftigt blockiertblockiert leerleer
Auslastungsanteile
M = 10; CV = 1.0; Puffergr¨oßen=1
66
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
A
n
t
e
i
l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Station
beschäftigt leer blockiert
67
11.4.1 Praxisbeispiel: Automatisierte Montagelinie
Es wird nun eine automatisierte Montagelinie mit deterministischen und von Station
zu Station unterschiedlichen Bearbeitungszeiten betrachtet. An den Montagestationen
treten nutzungsabh¨angige St¨orungen auf. Die St¨orchara kteristika werden beschrieben
durch Verf¨ugbarkeiten und mittlere Reparaturzeiten (MTTR). An zwei Stationen (20
und 21) sind die St¨orungen besonders ausgepr¨agt. D ie Systemdaten sind in der folgenden
Tabelle zusammengefaßt:
Station Puffer Bearbeitungszeit Verf¨ugbarkeit MTTR
1 5.100 0.983 29.69
2 9 5.100 0.990 35.89
3 12 5.300 0.975 34.52
4 12 5.300 0.935 44.40
5 9 3.800 0.992 27.27
6 6 5.200 0.961 30.40
7 5 5.200 0.943 54.97
8 6 5.000 0.968 33.98
9 10 3.500 1.000
10 9 5.100 0.941 27.75
11 30 5.500 0.964 47.53
12 6 5.300 0.977 45.23
13 9 4.700 0.990 61.28
14 9 3.500 1.000
15 6 5.000 0.984 35.43
16 7 5.100 0.989 33.19
17 8 4.100 0.992 214.69
18 6 4.900 0.979 51.07
19 6 4.900 0.979 51.64
20 7 4.900 0.894 75.83
21 31 6.100 0.830 45.39
22 128 5.100 0.958 229.85
23 128 5.100 0.958 229.85
459
F¨uhrt man eine Leistungsanalyse dieses FPS durch, dann erh¨alt man f¨ur die gegebene
Pufferkonfiguration die im folgenden Bild dargestellten Auslastungsanteile. Man erkennt
deutlich, daß die Station 20 wegen ihrer geringen Verf¨ugbarkeit den Materialfluß erheblich
blockiert. Dies dr¨uckt sich in den hohen Blockieranteilen aller Vo r g¨angerstationen aus.
Man ka nn auch vermuten, da ß die hohe Pufferzahl vor der Station 23 nicht ben¨otigt wird.
68
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12 13 14 15 1 6 17 1 8 19 2 0 21 2 2 23
Station
Station Puffer(Alt) Puffer(Opt)
1
2 9 0
3 12 0
4 12 0
5 9 0
6 6 0
7 5 0
8 6 0
9 10 0
10 9 0
11 30 1
12 6 0
13 9 6
14 9 3
15 6 1
16 7 8
17 8 6
18 6 2
19 6 10
20 7 11
21 31 52
22 128 62
23 128 30
Gesamtanzahl Puffer 459 192
Produktionsrate 0.13474 0.13474
69
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 12 13 14 15 1 6 17 1 8 19 2 0 21 2 2 23
Station
Man kann auch untersuchen, ob organisatorische oder technische Maßnahmen
zur Beeinflussung der St¨orchara kteristika einzelner Stationen zu einem Leistungsanstieg
f¨uhren. Erh¨oht man z. B. durch technische Maßna hmen die Verf¨ugbarkeit der Station
21 von 83% auf 90% (bei konstanter MTTR, d. h. durch Verl¨angerung der st¨orungsfreien
Laufzeiten), dann steigt die Produktionsrate des FPS (bei Annahme der optimierten
Pufferkonfiguration) wie folgt:
Verf¨ugbarkeit der Station 21 Produktionsrate %-Anstieg
83% 0.13474 -
84% 0.13631 1.16%
85% 0.13777 2.26%
86% 0.13913 3.26%
87% 0.14024 4.08%
88% 0.14100 4.64%
89% 0.14146 4.99%
90% 0.14173 5.19%
Alternativ onnte man auch durch organisatorische Maßnahmen die St¨ordauer (MTTR)
reduzieren, z. B. dadurch, daß man das Entsorsystem reorganisiert und es dadurch zu
k¨urzeren War tezeiten der Stationen auf den Beginn des Entst¨orvorganges kommt.
Weitere Informationen
Inter net
Weitere Informationen, Praxisbeispiele etc. sind im Internet zu finden:
http://www.produktion-und-logistik.de Fabrikplanung
70
Teil VII
Fließproduktionssy steme mit
begrenzten Puffern
12 Systeme ohne Puffer, Puffergr¨oße=0
Typen von Subsystemen
Systemverf¨ugbarkeit = Produkt der Stationsverf¨ugbarkeiten
V
s
=
m
Y
m=1
V
m
Pizza-Fabrik
Machine λ MTTF r MTTR Verf¨ugbarkeit
1 0.0089 112.36 4.6512 0.21 0.9981
2 0.0410 24.39 0.7491 1.33 0.9481
3 0.0001 10000.00 0.9901 1.01 0.9999
4 0.0980 10.20 2.9762 0.34 0.9681
5 0.0074 135.32 0.7994 1.25 0.9908
6 0.0095 105.71 1.1751 0.85 0.9920
7 0.0030 334.45 0.3044 3.29 0.9903
8 0.0201 49.85 0.6988 1.43 0.9721
9 0.0096 104.49 1.9531 0.51 0.9951
10 0.0069 144.09 2.1882 0.46 0.9968
11 0.0020 510.20 0.6523 1.53 0.9970
12 0.0169 59.17 1.6 0.63 0.9895
λ =Ausfallrate (Kehrwert von MTTF) r = Reparaturrate (Kehrwert von MTTR)
Solche Konfigurationen sind i. d. R. technisch determinier t.
13 Zwei-Stationen-Systeme
13.1 Merkmale
71
Typen von Subsystemen
Weitergabe der Werkst¨ucke
Bearbeitungszeiten
St¨orungen
Typen von Subsystemen
exp onential-verteilte Bearbeitungszeiten, keine St¨orungen,
allgemein-verteilte Bearbeitungszeiten, keine St¨orungen,
deterministische Bearbeitungszeiten, an allen Stationen identisch, St¨orungen
deterministische Bearbeitungszeiten, stationsspezifisch, St¨orungen
13.2 Markov-Modell eines Zwei-Stationen-Systems
Markov-Modell
Exponentialverteilte Bearbeitungszeiten
Station m Station m+1
0 Puffer
Bearbeitungsrate
Station m
=
Ankunftsrate
Bearbeitungsrate
Station m+1
=
Bedienrate
Markov-Modell
Zust¨ande
(n
1
, n
2
)
n
m
Anzahl der Werkst¨ucke, die auf Station m warten oder in Bearbeitung sind (bei
Station 2 einschl. des blockierten Werkst¨ucks an Station 1)
72
Markov-Modell
Zust¨ande Beispiele, Puffergr¨oße c = 1
n Station 1 Puffer Station 2 Zustand
leer leer leer geht nicht
0 arbeitet leer leer (1,0)
1 arbeitet leer arbeitet (1,1)
2 arbeitet 1 Werkst¨uck arb eitet (1,2)
3
blockiert 1 Werkst¨uck arbeitet (0,3)
Markov-Modell
Zust¨ande Beispiele, Puffergr¨oße c = 2
n Station 1 Puffer Station 2 Zustand
0 arbeitet leer leer (1,0)
1 arbeitet leer arbeitet (1,1)
2 arbeitet 1 Werkst¨uck arbeitet (1,2)
3 arbeitet 2 Werkst¨ucke arbeitet (1,3)
4
blockiert 2 Werkst¨ucke arbeitet (0,4)
Ingesamt c + 3 Zust¨ande
Markov-Modell
¨
Ubergangswahrscheinlichke i ten, Puffergr¨oße c = 0
nach
von 0 (1,0) 1 ( 1,1) 2 ( 0,2)
0 (1 λ ·h): λ ·h:
(1,0)
kein Bearbeitungsende an
Station 1
Bearbeitungsende an Sta-
tion 1
1 (1 λ ·h) · µ · h: (1 λ · h) ·(1 µ · h): λ · h · (1 µ ·h):
(1,1)
kein Bearbeitungsende
an Station 1, Bea r-
beitungsende an Station
2
kein Bearbeitungsende an
Station 1, kein Bear-
beitungsende an Station 2
Bearbeitungsende an
Station 1 , kein Bear-
beitungsende an Station
2
2 µ ·h: (1 µ · h):
(0,2)
Bearbeitungsende an Sta-
tion 2
kein Bearbeitungsende an
Station 2
Aufgabe
Schreiben Sie die obige Tabelle f¨ur c = 2 Puffer auf.
Markov-Modell
73
0 1 2
Markov-Modell
Berechnung ur c = 0
P
n
= station¨a r e Zustandswahrscheinlichkeit
λ · P
0
+ µ · P
1
= 0
λ · P
0
(λ + µ) · P
1
+ µ · P
2
= 0
λ · P
1
µ · P
2
= 0
(1)
Markov-Modell
Berechnung von P
0
ur
λ
µ
6= 1
λ · P
0
= µ · P
1
(a)
(λ + µ) · P
1
= λ · P
0
+ µ · P
2
(b)
µ ·P
2
= λ · P
1
(c)
(2)
Aufgabe
Wie hoch ist P
0
f¨ur λ = µ?
Markov-Modell
Aus (2a) f olgt
P
1
=
λ
µ
· P
0
(3)
74
Aus (2b) folgt
P
2
=
λ
µ
· P
1
+ P
1
λ
µ
· P
0
=
λ
µ
2
· P
0
+
λ
µ
·P
0
λ
µ
· P
0
=
λ
µ
2
· P
0
(4)
Außerdem gilt:
P
0
+ P
1
+ P
2
= 1
(5)
Markov-Modell
Einsetzen:
P
0
+
λ
µ
· P
0
+
λ
µ
2
· P
0
= 1
(6)
Daraus folgt:
P
0
=
1
1 +
λ
µ
+
λ
µ
2
(7)
Markov-Modell
Die Summe der geometrischen Reihe (im Nenner von (7)):
s
n
= a
0
+ a
1
+ ... + a
n
= a · (1 + q
1
+ q
2
+ ... + q
n
)
(8)
betr¨a gt
s
n
= a ·
1 q
n+1
1 q
(9)
Im vorliegenden Fall ergibt sich (n = 2, a = 1):
P
0
=
1
1
λ
µ
3
1
λ
µ
(10)
75
Markov-Modell
oder
P
0
=
1
λ
µ
1
λ
µ
3
(11)
Allgemein f¨ur N + 1 = c + 3 Zust¨ande
λ · P
0
= µ · P
1
(a)
(λ + µ) · P
n
= λ · P
n1
+ µ · P
n+1
1 n N (b)
µ · P
N
= λ · P
N1
(c)
(12)
P
0
=
1 (
λ
µ
)
1 (
λ
µ
)
N+1
=
1 ρ
1 ρ
N+1
(13)
Aufgabe
Wie wirkt sich im Markov-Mo dell die Verringerung der Bearbeitungsrate der Station 1
auf die Produktionsrate des Systems aus?
Aufgabe
Wie wirkt sich in Wa r teschlangen-Modell die Verringerung der Ankunftsrate auf die Pro-
duktionsrate des Systems aus?
13.3 Warteschlangenmodell eines Zwei-Stationen-Systems
(M/M/1) : (GD/N
max
/)-Warteschlangenmodell
Station m Station m+1
Warteschlangensystem mit
maximal 4 Kunden
2 Puffer
Bearbeitungsrate
Station m
=
Ankunftsrate
Bearbeitungsrate
Station m+1
=
Bedienrate
1234
76
(M/M/1) : (GD/N
max
/)-Warteschlangenmodell
N
max
= c
m,m+1
+ 2
P
0
=
1 ρ
1 ρ
N
max
+1
ρ 6= 1
P
0
=
1
N
max
+ 1
ρ = 1
X(m, m + 1) = µ
d
(m, m + 1) ·(1 P
0
)
77