6 Konfigurierung von Fließproduktionssystemen
6.1 Fließbandabstimmung unter deterministischen Bedingungen
Taktzeit
Ableitung aus der geplanten Produktionsmenge
C =
Zeitraum
z}|{
T
x
|{z}
geplante Produktionsmenge
Vorranggraph
Beschreibung des Produktionsprozesses zur Herstellung einer Produkteinheit
1 2
3 4
5
6 7 8
1.2 1.2 1.3
1.8 1.6
2.0 1.4 1.3
Elementzeit
Elementnummer
Jeder Knoten stellt ein Arbeitselement dar
Fließbandabstimmung Entscheidungsproblem
Finde die minimale Anzahl von Stationen
unter Ber¨ucksichtigung eine r vorgeg ebenen geplanten Produktionsmenge pro Periode und
bei gegebenen Vorg¨anger-Nachfolger-Beziehungen zwischen den Arbeitselementen
Modell zur Fließbandabstimmung
Daten
C Taktzeit
I Anzahl der Arbeitselemente
M Maximale Anzahl der Stationen
N
i
Indexmenge der direkten Nachfolger des Arbeitselements i
t
i
Elementzeit des Arbeitselements i
Beispiel
Definition der Bin¨arvariablen
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
y
6
y
7
y
8
Eine osung
0 1 1 0 0 1 0 1
21
Modell zur Fließbandabstimmung
Variablen
x
im
= Bin¨arvariable, die den Wert 1 annimmt, wenn
Arbeitselement i der Station m zugeordnet wird
y
m
= Bin¨arvariable, die den Wert 1 annimmt,
wenn Station m errichtet wird
Modell SALBP
Simple Assembly Line Balancing Problem
Minimiere Z =
M
X
m=1
y
m
|
{z }
Anzahl Stationen
u. B. d. R.
I
X
i=1
t
i
· x
im
|
{z }
Stationszeit der Station m
C ·y
m
m = 1, 2, . . . , M
M
X
m=1
x
im
= 1 i = 1, 2, . . . , I
M
X
m=1
m · x
im
|
{z }
Stationsnummer des AE i
M
X
m=1
m · x
jm
i = 1, 2, . . . , I; j N
i
x
im
{0, 1} i = 1, 2, ..., I; m = 1, 2, . . . , M
y
m
{0, 1} m = 1, 2, ..., M
Beispiel 1
Elementzeiten
i
1 2 3 4 5 6 7 8
t
i
3 1 2 5 4 4 7 1
x =
T
C
=
462
27
= 17.11
22
Beispiel 1
Optimale osung
Station 1 Station 2 Station 3
a
1
; a
2
; a
4
a
3
; a
7
a
5
; a
6
; a
8
τ
1
= 9 τ
2
= 9 τ
3
= 9
τ
m
=
X
i∈I
m
t
i
M
min
=
&
I
P
i=1
t
i
C
'
Beispiel 1
Reihenfolgebeziehungen
Beispiel 1
Reihenfolgebeziehungen
1 4 7 5 2 3 6 8
Beispiel 1
osung f¨ur C = 9
Station 1
Station 2 Station 3 Station 4
a
1
; a
4
a
7
a
5
; a
2
; a
3
a
6
; a
8
τ
1
= 8 τ
2
= 7 τ
3
= 7 τ
4
= 5
Beispiel 2
Arbeitselemente mit Zeiten und Reihenfolgebeziehungen
1 2
5 6
7
8 9 10
6 6 4
4 5
2 9 2
43
5 5
Beispiel 2
osung f¨ur C = 11
23
Station Einplanbar Element Elementzeit Stationszeit Restzeit
1 {1, 3} 1 6 6 5
{3} 3 5 11 0
2 {2, 4} 4 5 5 6
{2, 5} 5 4 9 2
3 {2, 6} 2 6 6 5
{6, 7} 7 4 10 1
4 {6} 6 5 5 6
{8} 8 2 7 4
5 {9} 9 9 9 2
{10} 10 2 11 0
Beispiel 2
osung
6 4
4
5
9 2
5
5
1
6
3
5
5
4
2
9
10
5
1
2
3
4
5
6.2 Leistungsanalyse unt er stochastischen Bedingungen
Zufallsein߬usse
Handarbeitspl¨atze (Bearbeitungszeiten)
Maschinenausf¨alle (St¨orungsabstand, St¨orungsdauer)
Produktionsfehler
Abbildung einer Station als Warteschlangensystem
bediente
Kunden
Warteraum
Bedienproz
Bedienstation
Ankunftsprozeß Abgangsprozeß
Kunden-
quelle
Station mStation m-1
24
Einige Formeln aus der Warteschlangentheorie
Gesetz von Little
E{Q} = λ · E{W }
Variationskoeffizient
CV =
p
V {X}
E{X}
=
Standardabweichung
Mittelwert
Einige Formeln aus der Warteschlangentheorie II
Mittlere Durchlaufzeit
E{W } =
ρ
2
· (1 + CV
2
B
)
1 + ρ
2
·CV
2
B
·
CV
2
A
+
ρ
2
· CV
2
B
2 · λ · (1 ρ)
+ E{B}
Variationskoeffizient der Zwischenabgangsz eiten
CV
2
D
= (1
ρ
2
) ·
CV
2
A
+
ρ
2
·CV
2
B
1 + ρ
2
· CV
2
B
+
ρ
2
· CV
2
B
Durchlaufzeit ve rsus Auslastung
0
5
10
15
20
25
30
35
D
u
r
c
h
l
a
u
f
z
e
i
t
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95
Auslastung
CV
B
= 0.1
CV
B
= 0.3
CV
B
= 0.8
Fließproduktionssystem als mehrstufiges Warteschlangen system
1 2 3
25
Annahmen
M Stationen
exponentialverteilte Zwischenankunftszeiten,
1
λ
exponentialverteilte Bearbeitungszeiten
ausreichend Platz vor jeder Station
Exponentialverteilung
Zur Erinnerung
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Dichtefunktion f(x)
0 10 20 30 40 50 60
x
=1
λ
Normalvertei lung
Zur Erinnerung
48.0 48.5 49.0 49.5 50.0 50.5 51.0 51.5 52.0
X

Leistungskenngr¨oßen
Produktionsmenge
X = λ
26
Auslastung
U
m
= λ ·b
m
m = 1, 2, ..., M
Lagerbestand (wartend und in Arbeit)
Q =
M
X
m=1
Q
m
Q
m
=
U
m
1 U
m
m = 1, 2, ..., M
Wahrscheinlichkeitsverteilung des Lagerbestands
P
n
m
= 1 U
m
n
m
= 0; m = 1, 2, . . . , M
P
n
m
= P
0
·U
n
m
m
n
m
1; m = 1, 2, . . . , M
Durchlaufzeit
W =
M
X
m=1
W
m
W
m
=
b
m
1 U
m
m = 1, 2, ..., M
Beispiel
Ergebnisse
Produktionsrate:
X = 0.08 St¨uck/Minute
Auslastungen: U
m
= 0.08 · 10 = 80% (m = 1, 2, . . . , 5)
Lagerbest¨ande: Q
m
=
0.8
1 0.8
= 4.0 St¨uck (m = 1, 2, . . . , 5)
Q = 5 ·4 .0 = 20 St¨uck
n
m
0 1 2 3 4 ··· 18
P
n
m
0.2 0.16 0 .128 0.1024 0.0819 ··· 0.0036
Durchlaufzeiten: W
m
=
10
1 0.8
= 50 Minuten (m = 1, 2, . . . , 5)
W = 5 · 50 = 250 Minuten
Auslastungsante ile, 0 Puffer
27
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
A
n
t
e
i
l
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Station
beschäftigt blockiert leer
Auslastungsante ile, 30 Puffer
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
A
n
t
e
i
l
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Station
beschäftigt blockiert leer
28